\chapter{直角坐标系下的张量}



在前面几章中，我们讨论了矢量分析中的一些基本内容。具体地说，我们论述了矢量函数的微分与积分，数量场与矢量场，以及由此而导出的梯度、散度、旋度，并在正交曲线坐标系中写出了它们的表示式。但在力学、物理和应用数学中还经常要用到张量知识，因此，在本章和下一章，我们要对张量计算中一些主要内容作些简单介绍。

\section{引言}
我们知道数量和矢量可以描述或表示物理学以及其它自然科学中所出现的一些量，例如密度、温度、力、速度、电场强度等等。但也有许多性质较为复杂的物理量却用数量或者矢量描述不了。例如，弹性体中任意体积元素的形变，惯性矩等等。这些量需要用张量来描述或表示。


张量是数量及矢量的推广，即数量及矢量都是张量的特例。我们知道，所谓数量是指只需一个数就可完全确定的量，例如物理量密度只需一个数就够了。所谓矢量，意指需要三个数才能确定的量，这三个数就是我们称之为矢量分量的三个数。
至于张量，它是在任何空间坐标系中都需要 $3^n$ ($n$ 为零与自然数）个数才能确定的量，这 $3^n$ 个数称为张量的分量。当 $n =0$ 时称为零阶张量。因为 $3^0= 1$, 故零阶张量只有一个分量，因而零阶张量实际上说是数量。当 $n =1$ 时，称为一阶张量。$3^1= 3$，故一阶张量只有三个分量。因而它是矢量。$3^n$ 中的 $n$ 称为张量的阶数，而数字 $3$ 表示三维空间，数 $3^n$ 表明张量的分量的个数。例
如三维空间中的二阶张量有 $9$ 个分量，三阶张量有 $27$ 个分量，囚为：$3^2= 9$，$3^3= 27$ 。

一般地说，$m$ 维空间中的 $n$ 阶张量有 $m^n$ 个分量。例如，四维空间中的三阶张量有 $16$ 个分量，三阶张量有 $64$ 个分量，因为 $4^2 = 16$，$4^3 =64$。注意， $m^n$ 中的 $m$ 表示空间的维数，$n$ 指明张量的阶数，而数 $m^n$ 表示 $m$ 维空间中 $n$ 阶张量的分量的个数。由于时间有限，我们只讨论三维空间中的张量。

值得注意的是：矢量是个整体概念。但当矢量应用于各个科学研究课题，而该问题又需要进行分析研究时，就不得不引进坐标系，这样才出现矢量的分量，将矢量这个整体用其分量表示。张量也是这样，它是个整体。只有在引进坐标系后才出现张量的分量，将张量这个整体用其分量表示。所不同的是，矢量可用一有向直线段表示，人们凭着几何直观，容易理解，而张量（除一阶张量外）不能用几何图形表示，这样就显得抽象，觉得较难理解。但将张量与矢量（一阶张量）联系起来考虑，就会化难为易，便于掌握。

矢量的另一特点是它是个不变量。所谓给定一矢量，意指其大小和方向已确定了。但在进行分析研究时，得引进坐标系。我们知道，在不同的坐标系中，矢最的三个分量显然不一样，这说明矢量的三个分量与坐标系的选取有关。然而不管在哪一坐标系中计算出来的矢量的长度都是一样的，所定出的方向都是同一方向。这种在任何坐标系中，矢量的模与方向都不变的性质称为矢量的不变性。张量概念和矢量概念一样，也是个具有不变性的概念。

设矢量 $\boldsymbol{A}$ 在某一坐标系 $o x_1 x_2 x_3$ 中的分量为 $A_1,A_2,A_3$ （为了书写上的方便，今后将轴 $ox,oy,oz$ 一律改为 $ox_1,ox_2,ox_3$ 矢量 $\boldsymbol{A}$ 的分量改用$A_1,A_2,A_3$ 表示，其中 $A_1$ 表示矢量 $\boldsymbol{A}$ 在轴 $ox_1$ 上的坐标，其余类推）。现引进一新的坐标系 $o'x'_1,o'x'_2,o'x'_3$，则此同一矢量 $\boldsymbol{A}$ 在这新坐标系中有与 $A_1,A_2,A_3$ 不同的分量 $A'_1,A'_2,A'_3$。由于矢量的不变性，我们可以断定这些新的分量 $A'_1,A'_2,A'_3$ 与旧的分量 $A_1,A_2,A_3$  必定是按照一个确定的规律相联系的（这个变换规律将在后面得出）。因此矢量的定义可较严密一些叙述为：所谓矢量意指需要三个数才能确定的量，且这三个数在坐标变换时必须按照一确定的规律而变换。与此类似，张量的主要性质也是其分量的变换规律。所谓 $n$ 阶张量是需要 $3^n$ 个数才能确定的量，且这 $3^n$ 个数（张量的分量）在坐标变换时，必须依据一确定的规律变换。

在直角坐标系中表示出来的张量称为笛卡尔(R. Descartes)张量。本章专讲笛卡尔张量，在非直角坐标系中表示的张量则放在第七章讨论。

\section{坐标变换}
在引言中曾提到，对于空间一矢量 $\boldsymbol{A}$, 当引进两个不同的直角坐标系 $K$ 与 $K'$ 时，这矢量 $\boldsymbol{A}$ 在 $K$ 中的分量 $A_1,A_2,A_3$ 与在 $K'$ 中的分量 $A'_1, A'_2,A'_3$ 会不相同。但它们之间按一确定的规律联系着。找出这个规律的问题属于坐标变换问题。本节的任务就是要推导出这个规律，我们先从点的坐标变换问题开始。

\subsection{点的坐标变换}

因为在几何的与物理的大多数应用中，原点 $O$ 的位置或者不起作用，或者是当然决定了的。因此，我们只讨论坐标的旋转变换。

设有一点 $\boldsymbol{M}$。现在引进两个直角坐标系 $K$ 与 $K'$ (见图6-1)。

点 $\boldsymbol{M}$ 对于坐标系 $K$ 的矢径用 $\boldsymbol r$ 表示， 对坐标系 $K'$ 的矢径用 $\boldsymbol{r'}$ 表示。显然有：

$$
 \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r'}
$$

应用它们的分量表示式，上式变为：

\begin{equation}\label{equ621}
x_1 \boldsymbol{e_1} + x_2 \boldsymbol{e_2} + x_3 \boldsymbol{e_3} = x'_1  \boldsymbol{e'_1} + x'_2  \boldsymbol{e'_2} + x'_2  \boldsymbol{e'_2}
\end{equation}


上式中，$\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{e_2}$ 为坐标系 $K$ 的单位基矢量，$\boldsymbol{e'_1}, \boldsymbol{e'_2}, \boldsymbol{e'_2}$ 为坐标系 $K'$ 的单位基矢量。

以 $\boldsymbol{e'_1}, \boldsymbol{e'_2}, \boldsymbol{e'_2}$ 依次各点乘式 \ref{equ621}，利用基矢量的正交关系，可以得到：

$$
\begin{array}{l}
x'_1 = x_1 \boldsymbol{e_1} \boldsymbol{e'_1} + x_2 \boldsymbol{e_2} \boldsymbol{e'_1} + x_3 \boldsymbol{e_3} \boldsymbol{e'_1} \\

x'_2 = x_1 \boldsymbol{e_1} \boldsymbol{e'_2} + x_2 \boldsymbol{e_2} \boldsymbol{e'_2} + x_3 \boldsymbol{e_3} \boldsymbol{e'_2} \\

x'_3 = x_1 \boldsymbol{e_1} \boldsymbol{e'_3} + x_2 \boldsymbol{e_3} \boldsymbol{e'_3} + x_3 \boldsymbol{e_3} \boldsymbol{e'_3} 
\end{array}
$$

同样，以 $\boldsymbol{e_1}, \boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{e_2}$ 依次各点乘式 \ref{equ621}，可以得到：

$$
\begin{array}{l}
x_1 = x'_1 \boldsymbol{e'_1} \boldsymbol{e_1} + x'_2 \boldsymbol{e'_2} \boldsymbol{e_1} + x'_3 \boldsymbol{e'_3} \boldsymbol{e_1} \\

x_2 = x'_1 \boldsymbol{e'_1} \boldsymbol{e_2} + x'_2 \boldsymbol{e'_2} \boldsymbol{e_2} + x'_3 \boldsymbol{e'_3} \boldsymbol{e_2} \\

x_3 = x'_1 \boldsymbol{e'_1} \boldsymbol{e_3} + x'_2 \boldsymbol{e'_3} \boldsymbol{e_3} + x'_3 \boldsymbol{e'_3} \boldsymbol{e_3} 
\end{array}
$$

令 
$$\alpha_{ij}= \cos(\boldsymbol{e'_i}, \boldsymbol{e_j}), \quad i,j = 1,2,3
$$

（注意：今后我们总以 $\alpha_{ij}$ 表示新坐标系 $K'$ 的第 $i$ 轴与旧系$K$ 的第$j$ 轴间夹角的余弦。）于是上面两组式子可改写为:



\begin{equation} \label{equ622}
\begin{array}{l}
x'_1 = \alpha_{11} x_1  + \alpha_{12} x_2  + \alpha_{13} x_3  \\

x'_2 = \alpha_{21} x_1  + \alpha_{22} x_2  + \alpha_{23} x_3  \\

x'_3 = \alpha_{31} x_1  + \alpha_{32} x_2  + \alpha_{33} x_3  \\
\end{array}
\end{equation}

和：


\begin{equation}
\begin{array}{l} \label{equ623}
x_1 = \alpha_{11} x'_1  + \alpha_{21} x'_2  + \alpha_{31} x'_3  \\

x_2 = \alpha_{12} x'_1  + \alpha_{22} x'_2  + \alpha_{32} x'_3  \\

x_3 = \alpha_{13} x'_1  + \alpha_{23} x'_2  + \alpha_{33} x'_3  \\
\end{array}
\end{equation}

公式 \ref{equ622} 就是我们要求的在坐标变换中点 $M$ 在新系 $K'$ 中的坐标通过它在旧系 $K$ 中的坐标表示的公式，而式 \ref{equ623} 是点 $M$ 在 $K$ 中的坐标通过它在和中的坐标表示的公式。换言之，这些公式即是点的坐标当垄标变换时应满足的规律。一般称式 \ref{equ621} 为点的直接坐标变换公式，而式 \ref{equ622} 为逆变换公式。

变换公式中的 $\alpha_{ij}\,(i, j = 1, 2, 3) $ 称为变换系数。直接变换的变换系数常用矩阵形式表出：

$$
\left(\alpha_{ij} \right) = \left( \begin{matrix}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
\alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} 
\end{matrix}  \right)
$$

逆变换系数的矩阵表示为：
$$
\left(\alpha_{ij} \right)' = \left( \begin{matrix}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \alpha_{31} \\
\alpha_{12} & \alpha_{22} & \alpha_{32} \\
\alpha_{13} & \alpha_{23} & \alpha_{33} 
\end{matrix}  \right)
$$

观察上面两个矩阵，可知将直接变换系数矩阵的第 $i$ 行换为第 $i$ 列($i=1, 2, 3$) 即得逆变换系数矩阵。同时，这两个矩阵也说明了直接变换与逆变换系数之间的关系。

\subsection{矢量的坐标变换}

设有一矢量 $\boldsymbol{A}$。引进原点相同的两个直角坐标系 $K$ 与 $K'$ 。
$A$ 的起点在 $K$ 中的坐标为 $x^{(1)}_1 ,x^{(1)}_2,x^{(1)}_3$ ，终点在 $K$ 中的坐标为$x^{(2)}_1 ,x^{(2)}_2 ,x^{(2)}_3$ 于是 $A$ 在 $K$ 中的三个分量为：

$$
\begin{array}{l} 
A_1 = x^{(2)}_1 - x^{(1)}_1 \\
A_2 = x^{(2)}_2 - x^{(1)}_2 \\
A_3 = x^{(2)}_3 - x^{(1)}_3 
\end{array}
$$

同理可知 $A$ 在 $K'$ 中的三个分量可表示为：
$$
\begin{array}{l} 
A'_1 = x'^{(2)}_1 - x'^{(1)}_1 \\
A'_2 = x'^{(2)}_2 - x'^{(1)}_2 \\
A'_3 = x'^{(2)}_3 - x'^{(1)}_3 
\end{array}
$$

应用式 \ref{equ622} 与 \ref{equ623} ，不难得出下面两组公式：

\begin{equation}
\begin{array}{l}\label{equ624}
A'_1 = \alpha_{11} A_1  + \alpha_{12} A_2  + \alpha_{13} A_3  \\

A'_2 = \alpha_{21} A_1  + \alpha_{22} A_2  + \alpha_{23} A_3  \\

A'_3 = \alpha_{31} A_1  + \alpha_{32} A_2  + \alpha_{33} A_3  \\
\end{array}
\end{equation}

和：


\begin{equation}
\begin{array}{l} \label{equ625}
A_1 = \alpha_{11} A'_1  + \alpha_{21} A'_2  + \alpha_{31} A'_3  \\

A_2 = \alpha_{12} A'_1  + \alpha_{22} A'_2  + \alpha_{32} A'_3  \\

A_3 = \alpha_{13} A'_1  + \alpha_{23} A'_2  + \alpha_{33} A'_3  \\
\end{array}
\end{equation}

这样我们就导出了矢量的分最在坐标变换中应满足的变换律。将式 \ref{equ622} 与 \ref{equ624} 比较，式 \ref{equ623} 与 \ref{equ625} 比较，则知坐标变换时，点的坐标变换律与矢量坐标的变换律极为相似。
仿前称式 \ref{equ624} 为矢量的直接坐标变换公式，而式 \ref{equ625} 为逆变换公式。

\subsection{常用的约定符号}

为了书写上的方便，常将式\ref{equ622} — \ref{equ625} 这类式子通过约定予以缩写。
试看 \ref{equ622} 式。显然，第一步可将 \ref{equ622} 式缩写为

$$
x'_i = \alpha_{i1} x_1  + \alpha_{i2} x_2  + \alpha_{i3} x_3 , \quad i = 1, 2, 3
$$
进一步可缩写为

$$
x'_i = \sum^{3}_{j=0} \alpha_{ij} x_j , \quad i = 1, 2, 3
$$

等式右端有个求和的符号 $\sum^{3}_{j=0} $，还有个附注 $i=1, 2, 3$，为了更简单、更方便，干脆将求和符号与附注全部略去，再进一步简写为
$$
x'_i =  \alpha_{ij} x_j 
$$

凡字母指标在一个式子的某一项中仅出现一次时，我们约定该指标应取值 $1, 2, 3 $。例如上式中的字母指标i 在该式各项中只出现一次，因此， $i$ 应取值 $1, 2, 3$ 。换言之，上式相当于三个等式。如果一字母指标在式子的某项中出现两次时，我们约定那项应对该字母指标从 $1$ 到 $3$ 求和。例如上式的字母指标 $j$ 在
等式右边那一项中出现两次，因而对该项应令 $j$ 从 $1$ 到 $3$ 取和。

换言之，$x'_i =  \alpha_{ij} x_j $ 实际上就是 $x'_i = \sum^{3}_{j=0} \alpha_{ij} x_j \, (i = 1, 2, 3)$。

再看几个例子：

$$
A_{ii} = A_{11} + A_{22} + A_{33}
$$

$$
A_i B^i = A_1 B^1 + A_2 B^2 + A_3 B^3
$$

$$
A_i B^k C^i = B^k (A_1  C^1 + A_2  C^2 + A_3  C^3)
$$

在最后一式中的 $K$ 又应取值 $1, 2, 3$ 。实际上它表示三个式子。

注意， $B^i$ 中的 $i$ 是个上角标，千万不可将 $B^i$ 理解为 $B$ 的 $i$ 次
方。个别地方，当 $B^i$ 表示乘幕时，会从上下文中辨认出来的。
应用约定符号，我们将 \ref{equ622}—\ref{equ625} 表示为

\begin{equation}
x'_i = \alpha_{ij} x_j \label{equ626}
\end{equation}

\begin{equation}
x_i = \alpha_{ji} x'_j \label{equ627}
\end{equation}

\begin{equation}
A'_i = \alpha_{ij} A_j  \label{equ628}
\end{equation}

\begin{equation}
A_i = \alpha_{ji} A'_j  \label{equ629}
\end{equation}


\subsection{变换系数 $\alpha_{ij}$ 应满足的条件}
我们知道， $\alpha_{ij}$ 表示新系 $K'$ 中第 $i$ 轴与旧系 $K$ 中第 $j$ 轴间夹角的余弦。这九个余弦不是彼此孤立的，它们满足所谓正交性条件。
考察矢量坐标的直接变换式·（\ref{equ628}） ，它的作用是：已知任一矢量 $A$ 在坐标系 $K$ 中的坐标（或分最） $A_i\ (i = 1, 2, 3)$ ，当将此坐标系绕原点旋转而成为系 $K'$ 时，矢量 $A$ 的坐标也要随之而改变，但应依据变换规律式 （\ref{equ628}） 而变。特别地， $\boldsymbol{e}_i$ 也是矢量，当坐标旋转变换时，它的分量的改变也应服从一般的变换律式(\ref{equ628}) 。换言之，以 $\boldsymbol{e}_i$ 代替 $A$, 式（\ref{equ628}）仍应成立:

$$
\boldsymbol{e'}_i = \alpha_{ij} \boldsymbol{e}_j
$$

从矢量投影的角度更好理解：

\begin{equation}
\begin{array}{l}
\boldsymbol{e'}_i = (\boldsymbol{e'}_i \cdot \boldsymbol{e}_1) \boldsymbol{e}_1 +
(\boldsymbol{e'}_2 \cdot \boldsymbol{e}_2) \boldsymbol{e}_2 + (\boldsymbol{e'}_3 \cdot \boldsymbol{e}_3) \boldsymbol{e}_3  \\
= \alpha_{i1} \boldsymbol{e}_1 + \alpha_{i2} \boldsymbol{e}_2 + \alpha_{i3} \boldsymbol{e}_3

\end{array}
\end{equation}


以 $ \boldsymbol{e'}_j $ 点乘上式，得

$$
\boldsymbol{e'}_j  \boldsymbol{e'}_j  = \alpha_{im} \boldsymbol{e'}_j 
$$


此乃逆变换系数应满足的条件。
回忆直接变换与逆变换的系数矩阵， 由条件(6.2.10) 与
(6.2.11) 可知， 上述矩阵中任意一行（或列〉上元素的平方之
和为I, 任意两行（或列）上的对应元素相乘之后再相加，其结
果为己
条件(6.2.10) 与(6.2.11) 都叫做正交性条件。



这个例子告诉我们，两矢量的矢量积的分量在坐标变换时一般不依照变换律式(6.2.8) 或(6.2.9) 而变换。因此，两矢星的矢量积在某种意义之下， 一般不是矢量。常称两矢量的矢量积为伪矢量或一阶伪张量。
\section{零阶与一阶张量}

\section{二阶张量}

\section{高阶张量}

\section{张量的对称性}

\section{张量的加法、乘法与缩并}

\section{二阶对称张量的主轴和特征值}

\section{张量场的导数}
